在結構工程中，屈曲不穩定性是一種危險的現象，載荷的微小增加就可能會導致災難性的破壞。這篇文章我們將研究一些屈曲問題以及如何分析它們。

什么是屈曲？

你有沒有見過一個成年人可以在一個空的易拉罐上保持平衡的游戲？盡管易拉罐的內壁只有 0.1mm 厚，但只要保持完整的圓柱形狀態，就可以承受一個成年人的重量。此時，軸向應力低于屈服應力，這可以通過力除以橫截面積來驗證。

如果你只是輕輕地按壓圓柱形表面上的某個點，易拉罐就會塌陷。完整圓柱體的極限載荷高于人的重量，但是一個輕微的變形就能明顯降低它的承載能力，這種現象稱為缺陷敏感性，是設計壓縮結構時可能出現的一個隱患。現實生活中還有一些坍塌殼的例子，它們的尺寸比易拉罐要大得多。在數學上，屈曲是一個分岔問題。在一定載荷級別下，解不止一個。下面的草圖描繪了解的分岔點和三種不同的可能路徑，在分岔點處形成分支。如下圖所示，次級路徑可以是三種不同的基本類型。

如果承載能力繼續增加，就可以將解表征為穩定。這是風險最小的情況，但如果你沒有意識到這種情況，就可能會計算出太低的壓力。因此，你將低估承載能力。中性和不穩定路徑更危險，因為一旦達到峰值載荷，位移就可以是峰值點后對應的任意值。當存在多個解時，就會出現哪一個解是正確的問題。所有的解都將滿足平衡方程，但在實際問題中，結構只會選擇一種路徑，將基于能量最小化來進行這種選擇。使用傳統線性理論計算的解通常不是首選解。我們可以用波浪形表面上的一個球來做類比，球可以在山頂和山谷中都處于平衡狀態，但任何擾動都會使它掉到山谷中。同樣，即使是對結構施加最小的擾動也會使它跳到更有利的能量狀態。在實際問題中，沒有完美的結構；在幾何學、材料或載荷方面總會存在擾動。

線性屈曲分析

處理屈曲問題最簡單的方法是進行線性屈曲分析。這其實相當于我們在基礎工程課程中學過的對簡單的結構進行分析的方法。計算壓縮支柱的臨界載荷（如歐拉屈曲案例）就是這樣一個例子。在 COMSOL Multiphysics 中，有一種特殊的研究類型稱為“線性屈曲”。在研究時，需要添加任意大小的外部荷載。它可以是一個單位載荷或預期的工作負荷。這個研究包括兩個研究步驟：

1. 穩態研究步驟，計算所施加載荷的應力狀態。
2. 線性屈曲研究步驟。這是一個特征值解，應力狀態被用來確定臨界荷載因子。

臨界載荷因子是需要乘以施加的載荷以達到屈曲載荷的系數。如果使用工作載荷建模，可以將臨界載荷因子解釋為安全系數。臨界載荷因子可以小于 1，在這種情況下，臨界載荷比施加的載荷要小。這本身并不是一個問題，因為分析是線性的。臨界載荷因子甚至可以是負的，在這種情況下，屈曲所需的最低載荷的作用方向與施加載荷的方向相反。

特征值的求解也會提供屈曲模式的振型。請注意，模式的振型只在一個任意的比例因子內已知，就像特征頻率分析中的特征模式一樣。在詳細介紹之前，必須提出一些注意事項：

• 對于一些結構，由于缺陷敏感性，使用這種方法獲得的理論屈曲荷載可能明顯高于實際遇到的載荷。這對于薄殼尤其重要。
• 有些結構甚至在屈曲之前就表現出明顯的非線性。原因可能是結構既是幾何非線性又是材料非線性。
• 千萬不要在屈曲分析中使用對稱條件，即使結構和荷載是對稱的，屈曲形狀也可能不是對稱的。

進行線性屈曲分析時，我們可以將問題看作一個線性特征值問題來求解。屈曲的標準是剛度矩陣是奇異的，因此位移是不確定的。所施加的載荷集被稱為 ，而臨界載荷狀態被稱為 ，其中， 是一個標量乘子。

完全幾何非線性問題 的總剛度矩陣可以看作是兩個貢獻的總和。一個是線性問題 的普通剛度矩陣，另一個是由載荷決定的非線性添加項 。

在線性近似中, 與載荷成正比，因此

剛度矩陣在其行列式為零時為奇異矩陣。這個形式是參數 的特征值問題。

最低特征值 代表臨界荷載因子，相應的特征模態 代表屈曲形狀。

默認情況下，只計算與最低臨界載荷對應的一個屈曲模式。我們可以選擇計算任意數量的模式，對于復雜的結構，這可能有一定的意義。可能有幾種具有相似臨界載荷系數的屈曲模式。由于缺陷敏感性等原因，計算的最低臨界模式可能與實際問題中的最低臨界模式不一致。

在 COMSOL 軟件中，不應將線性屈曲研究步驟標記為幾何非線性。給出的非線性項 是單獨添加的。但是，如果確實選擇了幾何非線性，將解決以下問題：

termlambda+1 中額外的'1'被自動補償了，所以在兩種情況下計算的載荷因子是一樣。最好的法則是在預載研究步驟和屈曲研究步驟中都使用相同的幾何非線性設置。

你可以在 COMSOL 官網中下載桁架塔的線性屈曲分析模型來研究一個線性屈曲分析示例。

固定載荷和可變載荷

有時，一組載荷 可以被認為是與屈曲分析有關的固定荷載，而另一組荷載 將與荷載因子 lambda 相乘。盡管如此，在計算臨界載荷因子時，必須考慮到這兩個載荷系統的組合。

在數學上，這個問題可以表述為

在 COMSOL Multiphysics 中，也可以使用以下兩種策略中的一種來解決這類問題：

1. 將它作為后屈曲分析運行，一組荷載固定，另一組荷載增加。這很簡單直接，但從計算的角度來看，這種大規模的計算是不必要的。
2. 使用下文介紹的修改后的線性屈曲研究。

由于軟件的靈活性，修改內置的線性屈曲研究并不困難，這樣它就可以處理這兩個獨立的載荷系統。要做到這一點，首先要增加一個額外的物理場接口，它只用于計算固定載荷引起的應力狀態。僅在穩態分析中求解這個接口，而不在屈曲步驟中求解。

現在，我們需要根據第二個物理場接口中計算的應力生成屈曲研究中的額外剛度矩陣貢獻。可以通過添加以下額外的弱貢獻來做到這一點： 式中， 是來自固定載荷的應力張量， 和 分別是格林-拉格朗日和線性應變張量。換句話說，差值 包含格林-拉格朗日應變張量的二次項。

現在，我們可以照常運行研究序列，計算出僅適用于第二個荷載系統的臨界荷載因子。

后屈曲分析

通過線性屈曲分析，只能找到臨界載荷，而不能找到達到臨界載荷后發生的情況。在許多情況下，我們只對確保不要達到屈曲的安全臨界載荷感興趣，因此線性研究可能就足夠了。但是，有時需要查看完整的變形歷史。造成這種情況的一些原因可能是：

1. 該結構在臨界載荷之前也具有明顯的非線性，因此線性分析并不適用。
2. 需要研究缺陷敏感性。
3. 有意在部件的后屈曲狀態下進行操作。

為了進行后屈曲分析，需要逐步加載結構荷載，并跟蹤荷載-撓度歷史。在 COMSOL 軟件中，你可以使用參數化連續求解器來執行此操作。進行屈曲后分析并非易事。一個固有的問題是，分叉問題有幾種解，如何判斷得到的解是預期的呢？此外，在許多情況下，屈曲不穩定性將在數值上表現為病態條件數或奇異剛度矩陣，因此除非使用適當的建模技術，否則求解器將無法收斂。接下來將介紹一些有用的方法。

對稱結構

考慮一種簡單的情況，例如頂端有一個壓縮載荷的懸臂梁。當達到臨界載荷時，它可以在三維中沿任意方向偏轉，或者在二維中沿兩個可能的方向偏轉。然而，求解器不太可能收斂到這些解中的任何一個，除非對稱性受到干擾，否則對稱性問題在屈曲載荷處是奇異的。如果在頂端增加一個小的橫向載荷，解就可以順利地被追蹤到。在梁的大變形分析模型中可以找到使用這種技術的例子。

突彈跳變問題

在許多情況下，結構會從一個狀態“跳躍”到另一個狀態。下面的兩桿桁架結構就是一個簡單的例子。

撓度為 0.2 時，兩個桿是水平的。當力增加時，它將在狀態 A 處達到峰值。從數值上看，剛度矩陣將變得奇異。從物理上看，結構會突然反轉并沿著紅色虛線跳到狀態 B。在實際問題中，這將是一個動態事件。儲存的應變能將被釋放并轉化為動能。有一個方法可以解決這個問題，就是實際運行一個隨時間變化的分析，其中慣性力將平衡外部載荷和內部彈性力。但是，這種方法很少使用，因為它的計算成本很高。為了追蹤綠色實線，可以用指定的位移代替指定的載荷，代替記錄反作用力。用指定的位移代替載荷是穩定模型的一個簡單方法，但該方法有局限性：

• 它或多或少僅限于外部載荷為單點載荷的情況。
• 指定的位移必須是單調增加。

為了介紹一種更常用的方法，我們以一個淺圓柱形殼體為例，請看下圖。它在中心承受單點載荷，因此在這種情況下，你可能很想使用位移控制。但是，如下圖所示，在屈曲事件期間，力和它產生的位移都不是單一的。

對于這類問題，一些文獻會建議你使用弧長求解器。Riks 就是這樣一種常用的方法。我們經常被問到為什么不在 COMSOL 軟件中添加這樣的求解器。答案很簡單：我們不需要。一旦你學會了如何使用 COMSOL Multiphysics 中的連續求解器，像這樣的問題是很容易解決的。你只需要在模型中找出一個將單調增加的量，用它來驅動分析。例如，在上面的模型中，可以選擇殼體表面的平均垂直位移作為控制參數。然后，將載荷強度添加為問題中的一個額外自由度，通過全局方程引入。需要滿足的等式是平均位移（通過平均算子定義）應等于連續參數(在下面的屏幕截圖中調用 disp)。

您可以從 COMSOL 模型庫中下載完整的模型。

以上描述的方法不僅適用于力學中的屈曲問題，它還可以求解任何不穩定的問題，例如機電系統的吸合分析。

缺陷

缺陷

有時，我們需要對缺陷進行顯式建模。例如，有一些標準規定，荷載必須具有一定的偏心率，或者梁必須具有一定的假定初始曲率。當引入缺陷時，載荷-撓度曲線將在理想分岔曲線的分支之間走一條“捷徑”。

當在一個對缺陷敏感的幾何體的模型中加入干擾時，峰值載荷可能會顯著下降。這就是前面提到的易拉罐的情況，這是一個物理事實，而不僅僅是有限元建模的效果。因此，對于這類結構來說，最重要的是要真正考慮到缺陷。

那么，應該如何在模型中選擇合適的缺陷呢？

我們可以先進行線性屈曲分析，然后將計算出的模式形狀作為缺陷。這樣做是為了使結構對這種形狀最敏感。但是，并不是一定要捕獲準確的形狀，因此可以使用類似的東西。在考慮制造容差和運行條件時，擾動的大小應與你在實際結構中的預期相似。

在某些情況下，如果臨界荷載因子是同一數量級的，那么計算幾個屈曲模式并嘗試多個模式也是一個好主意。不同屈曲模式之間的缺陷靈敏度差異很大。

使用額外的載荷通常更容易獲得擾動，而不是改變幾何形狀。如果這樣做，應確保該載荷所引入的應力不會明顯改變問題。