自由空間中的靜電

靜電學是電磁學的一個子領域，研究靜（非運動）電荷引起的電場。我們首先從自由空間開始討論，假設空間電荷密度為 ，它與電場 的關系式如下：

(1)

其中， 是自然界的一個普適常數，稱為自由空間的介電常數。

這一關系意味著，在靜電學中，空間電荷密度相當于一個體積源。只有電荷-電場關系是不夠的，但麥克斯韋方程組隱含了一個額外要求，即電場為無旋場（無旋度）：

(2)

這是用于描述靜電場的法拉第定律。

兩塊電容板周圍的靜電場 便是無旋矢量場的一個例子。

無旋場存在一個標量勢，由此可以得到電勢 的定義：

(3)

對于任何足夠平滑的標量場 來說，總會滿足以下矢量恒等式，確保電場為無旋場：

(4)

電勢前面的負號是傳統約定。

兩塊電容板周圍的電勢場 。

通過組合以上表達式，只用一個方程即可描述麥克斯韋靜電方程中包含的信息：
(5)

由于此方程不能表示電介質材料，因此在工程領域的應用有限。為了解決這個問題，我們利用感應極化效應對該理論進行擴展。

電介質材料中的靜電

理想化電介質材料的特點在于其中沒有任何自由電荷，而只有束縛電荷。在微觀層面，這些束縛電荷可以被外部電場所取代，從而產生感應電偶極子。這些感應電偶極子是成對的正負電荷，在某種程度上與電場方向一致，導致電介質材料內的電場與自由空間的電場不同。為了從宏觀上描述這種現象，我們可以方便地引入極化矢量場 和極化電荷密度 ，其關系式為：

根據下式，極化效應會局部改變材料內部的電場：

在此基礎上，我們可以引入一個新的基本量，即電位移場 ，定義為：

利用這一定義，靜電方程（也稱為高斯定律）可以變為：

(10)

為了充分描述靜電現象，我們仍需保留電場無旋（法拉第定律）條件。由于此條件用電勢來描述，因此靜電方程組可以聯立成一個方程：

(11)

介電常數大于周圍環境的物體附近的電場。這兩幅圖顯示位于兩塊電容板（未顯示）之間，被空氣（ ）包圍的電介質體（ ）。頂部和底部電極分別具有正電位和負電位。左圖用不同的顏色來顯示電場 大小，并用箭頭表示其方向。右圖用不同的顏色來顯示電位移場 幅值，也用箭頭表示方向。紅色和藍色分別表示高低幅值。
線性電介質材料

在靜電學中，人們常常可以假設材料呈線性，這預示著極化矢量場與電場成正比：

(12)

其中比例常數 為電極化率。

當材料呈各向異性時，極化率可以是一個 3x3 的張量：

(13)

將其代入 與 的關系式中，得到：

(14)

我們還可以引入兩個有用的新量：相對介電常數 和絕對介電常數 。

線性電介質材料最重要的本構關系假定為：

(15)

各向異性極化率對應于各向異性相對介電常數：

(16)

這意味著對于某些材料而言， 和 場可能不完全一致。

利用靜電勢，我們可以將線性材料中的靜電基本方程寫為：

(17)

材料界面的靜電方程和邊界條件

高斯定律和法拉第定律可以分別看作是為電場散度和旋度指定條件。根據亥姆霍茲定理，這可以確定電場所能達到的場強常數。順便指出一點，由于這個未知常數，我們最終必須指定電勢的地電平。在材料界面處，散度條件表示電場法向分量的條件，旋度條件表示電場切向分量的條件。材料界面表明存在不連續，為了方便理解要對邊界施加何種條件，我們通常使用對應的積分形式。然后，通過分別采用閉合面的收縮極限（高斯定律）和封閉等值線的收縮極限（法拉第定律），使材料的界面形成封閉，導出邊界公式。

下表對此進行了匯總：

其中， 是體積電荷， 是材料界面處的表面電荷。

通過文字表述來匯總這些方程的含義可以幫助你加深理解：

需要注意的是，對于時變情況，電場不再是無旋場，并且法拉第定律會得到一個與電磁感應對應的附加項。

靜電能

電場中包含的靜電能可以用許多不同的方式來表示。對于電介質，某一體積（ ）內的靜電能可以用場量表示為：

其中，靜電能量密度定義為：

請注意，對于靜電能量密度的定位，相關的物理說明比較有限（另請參見：The Feynman Lectures on Physics, Volume 2）。

另一個用體積電荷密度 和局部電勢 來描述靜電能的表達式為：

這兩個能量表達式被證明是等價的。

在計算靜電力和電容值時，靜電能的概念非常有用。

經授權轉載自 COMSOL 多物理場仿真百科，原文鏈接：

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