你有沒有遇到過這樣一種情況：在笛卡爾平面內，有一組非均勻分布的點，用于對表面高度進行采樣，例如地圖等高線上的點或表示某些材料屬性數據的數據點？你可能還想在這些點之間重建或插值一個連續的光滑表面。你可以使用 COMSOL Multiphysics 的核心功能，即徑向基函數來構建這樣的表面。接下來，讓我們來看看如何操作。

徑向基函數簡介

一個簡單的徑向基函數(RBF) 是指根據距某點的距離(或半徑)定義的任意一個函數：

(1)

式中，w 是徑向基函數的權重; 是點的坐標或中心 ; r是從 XY 平面內的任何其他點到此中心的距離。

徑向基函數本身可以是許多不同類型的函數的一種。多諧波樣條系列通常用于插值，特別是薄板樣條函數。薄板樣條基函數為：

(2) 僅僅一個徑向基函數并不是那么吸引人，但我們可以在有限數量的具有不同權重的不同中心上進行求和，并選擇性地添加一個具有權重的線性多項式項 從而得到函數：

(3)

如果有足夠的中心點，那么一組基函數的總和可以用來表示非常復雜的單值函數。當使用薄板樣條基函數時，還有一個額外的優點，就是這個功能在任何地方都是平滑的，并且可以無限微分。

現在讓我們來看看如何使用這些徑向基函數插值光滑表面。如果我們獲得一組有限的中心點位置 ，以及它們對應的已知高度 ，那么可以寫一個線性方程組：

(4)

其中，系統矩陣項 是各中心點之間計算的徑向基函數。

當使用薄板樣條基函數時，幾乎所有的非對角線項都是非零的，因此這個系統矩陣非常密集。線性系統可以求解所有權重，我們可以計算 xy 平面中任何其他點的加權徑向基函數之和，從而得到平滑插值函數?，F在，讓我們看看如何使用 COMSOL Multiphysics 的核心功能計算這些權重并將插值函數可視化。

使用 COMSOL Multiphysics 中的徑向基函數進行表面插值

我們從建立一個包含三維組件的模型開始，該模型使用無量綱單位系統，可以在 組件 1 設置中選擇。如果數據代表材料屬性而不是幾何形狀，那么無量綱單位系統使用起來更簡單。

模型中的幾何圖形由兩個特征組成。首先，點 功能用于定義點集（可以從文本文件復制坐標列表）。累積選擇 用于定義所有這些點的命名選擇，如下面的屏幕截圖所示。此外，還有一個塊 功能，它的尺寸略大于數據點的范圍，并被定位為包圍所有數據點。

定義幾何圖形后，我們在剛剛創建的點上定義一個積分組件耦合 算子。由于積分是在一組點上完成的，因此這個運算符等效于獲取在一組點上計算的表達式的總和。接下來，我們定義三個變量，如下面的屏幕截圖所示。

首先，變量 r = eps+sqrt((dest(x)-x)^2+(dest(y)-y)^2) 將用于計算所有中心之間的距離。請注意運算符 dest() 的用法，這會強制在目標點而不是源點上計算運算符中的表達式。添加一個非常小的非零項（eps 是機器精度），以使這個表達式永遠不會精確地為零。

接下來，變量 phi = r^2*log(r) 是方程(2)，薄板樣條基函數。請注意，當半徑為零，此函數收斂為零，但由于對數函數，我們確實需要使半徑稍微不為零，以便可以在零處計算基函數。還值得一提的是，這個函數可以更改為任何其他所需的基函數。

最后，定義 RBF = intop1(w*phi)+a0+a1*x+a2*y 是方程(3)，即插值表面本身，其權重尚未計算。請記住，積分組件耦合算子用于獲取算子中表達式在這些點上的總和。

現在幾何已經設置好了，所有變量都定義了，我們已經準備好求解徑向基函數和多項式項的權重了。這是通過點常微分 和微分代數方程 接口完成的，該接口在我們要插值的點上定義，如下面的屏幕截圖所示。我們可以將所有單位設置為無量綱，因為點位置也是無量綱的。這些設置定義了一組未知數 w，每個點將具有不同的值。

在這個物理場接口中，只需要修改兩個功能。首先，需要調整分布式常微分方程 的設置，如下圖所示。源項 定義為 z-RBF。由于求解穩態研究時方程中的所有其他項均為零，因此該項表示在所有選定點處 RBF=z。使用這個功能，我們可以定義等式(4) 的第 1 行到第 N 行。

其次，我們需要定義等式(4)的最后三行。這是通過全局方程 功能完成的，如下面的屏幕截圖所示。這三個方程求解權重 a0，a1 和 a2。同樣，積分耦合運算符用于獲取所有選定點的表達式之和。有了這兩個功能，問題就完全定義了，幾乎可以解決。

求解這個模型要求我們在所有點上都有一個網格，因此我們在邊界框上應用了自由四面體網格，然后使用穩態求解器求解。問題求解后，我們就可以繪制插值函數，RBF 變量，如下所示。

將功能打包到一個仿真 App 中

如果你想直接使用這個功能，而不在自己的模型中設置所有這些功能，也歡迎你從 COMSOL 案例庫中下載我們的演示仿真 App，該 App 從一個用逗號分隔的文件中獲取 xyz 數據點并計算插值表面。使用此演示 App 最多可插值 5000 個數據點。

除了計算此表面之外，該 App 還可以寫出描述表面的完整分析函數，還可以寫出該表面本身的 COMSOL 格式 的CAD 文件，所有這些都是 COMSOL Multiphysics 的核心功能。CAD 數據是 NURBS 表面，因此僅近似表示函數，但對于相當光滑的表面，精度非常高。該仿真 App 用戶界面的屏幕截圖如下所示。

更多資源

如果你有興趣了解有關模型開發器 和 COMSOL Server? 的更多信息(它們可用于開發和運行此仿真 App)，請查看以下資源。

• 閱讀 App 開發器簡介手冊中的完整說明摘要
• 觀看視頻，了解如何使用 App 開發期和 COMSOL Server?
• 閱讀博客文章，了解如何在各種應用中使用仿真 App

你想使用 COMSOL Multiphysics 做什么？您對徑向基函數的功能還有其他疑問嗎？歡迎聯系我們尋求幫助。