在使用 COMSOL Multiphysics 求解電磁波問題，都會建立一個包含多個域和邊界條件的模型。在域內，我們會使用各種材料模型來表征許多不同物質。從數學的角度來看，所有這些材料最終都會在控制方程內以相同的方式進行處理。下面，讓我們來分析這些材料模型，并討論在什么時候使用。

我們在求解哪些方程組？

文章將介紹電磁波，頻域接口內使用的頻域形式 Maxwell 方程組，您可以在 RF 模塊和波動光學模塊找到這個接口。文章內容也適用于波動光學模塊的電磁波，波束包絡公式。假設材料響應與場強線性相關，我們將能在頻域寫出 Maxwell 方程組，因此控制方程將能寫為：

此方程求解了工作（角）頻率 f 下的電場 ，其中 c_0 是真空中的光速。其他輸入項包括以下材料屬性： 相對磁導率、 相對介電常數和 電導率。所有這些材料輸入可以是正值或負值、實值數或復值數，還可以是標量或張量。材料屬性可以隨頻率變化，不過如果我們只需分析一個相對較窄的頻率范圍，那一般不需要考慮該變化。

我們接下來將詳細分析每一種材料屬性。

電導率

電導率量化了材料的導電能力，是電阻率的導數。我們通常在穩態 (DC) 下測量材料電導率，從以上方程可以看出，材料的等效電阻率將隨頻率的升高而增大。我們通常假定電導率與頻率一致，不過我們稍后將討論幾個材料電導率會隨頻率變化的模型。如果材料的電導率非零，當向材料施加電場后，它將開始傳導電流并會因電阻損耗而耗散能量，即焦耳熱。此時，溫度會上升，并導致電導率發生改變。您可以輸入任意函數或列表數據來表示電導率隨溫度的變化，也可以使用軟件內置的線性電阻率模型。線性電阻率模型常用于模擬電阻率隨溫度的變化，公式為：

其中 指參考電阻率、 指參考溫度， 是電阻溫度系數。您可以指定或通過計算得到隨空間變化的溫度場 T。

電導率作為實值數輸入，而且它也可以具有各向異性，即材料電導率會在不同的坐標方向發生變化。例如在層壓材料中，如果您不希望顯式模擬單獨的每一層，那就可以使用此方法。您可以為復合材料輸入一個經實驗確定或在單獨的分析中計算得到的均勻電導率。RF 模塊還提供了其他兩個選項來計算均勻電導率：Archie 定律（用于計算充滿導電流體的不導電多孔介質的等效電導率）和混合了多種材料的多孔介質模型。Archie 定律模型常用于模擬飽含海水、原油或其他電導率要高于土壤的流體的土壤。多孔介質模型提供了三個選項來計算混合材料（最多包含五種材料）的等效電導率。首先是體積平均電導率，公式為：

其中， 是每種材料的體積分數。模型適用于各種材料的電導率相似的情況。如果電導率的差別很大，那更適合使用體積平均電阻率：

最后，冪律公式給出的電導率介于其他兩個公式之間：

這些模型只適用于材料屬性變化的長度量級小于波長的情況。

相對介電常數

相對介電常數量化了當向材料施加電場后材料的極化程度。通常我們可以稱所有 的材料為介電材料，即便真空 ( ) 也可以被稱作電介質。我們還經常使用介電常數來描述材料的相對介電常數。

材料的相對介電常數通常是復值數，其中負的虛部表示當電場方向隨時間改變時，材料中的損耗。當材料中的電場隨時間改變時，材料會以熱的形式耗散部分電能。此時，原子周圍電子云的形狀隨電場改變，產生了這種我們稱為介電損耗的現象。介電損耗的概念不同于之前討論的電阻損耗；但它們的數學處理完全相同，都是作為控制方程中的一個復數值項進行處理。請記住 COMSOL Multiphysics 遵循了以下慣例：負的虛部（正的電導率值）將造成損耗，而正的復值組分（負的電導率值）將在材料中產生增益。軟件提供了七個相對介電常數模型；我們接下來將具體介紹這些模型。相對介電常數是 RF 模塊的缺省選項，可以輸入實值或復值標量或張量。電導率部分提到的多孔介質模型同樣適用于相對介電常數。

折射率是波動光學模塊的缺省選項。您可以單獨輸入折射率的實部和虛部，即 n 和 k，同時相對介電常數是 。該材料模型假定電導率為零，并假定了單位相對磁導率。

損耗角正切需要輸入實值相對介電常數 和標量損耗角正切 。相對介電常數由 計算，且材料電導率為零。

通過介電損耗選項可以輸入相對介電常數 的實部和虛部。 請注意符號：使用該接口時，如在虛部 輸入一個正的實值數，將造成損耗，因為軟件內部會將其乘以 -j。您可以瀏覽金納米球的光散射模型示例，學習該材料模型的使用。

Drude-Lorentz 彌散是基于 Drude 自由電子模型和 Lorentz 振蕩模型開發的材料模型。Drude 模型 ( ) 用于金屬和摻雜半導體，Lorentz 模型描述了聲子模及帶間躍遷等諧振現象。通過加和來結合這兩個模型，將能精確描述各類固體材料。它預測了復相對介電常數隨頻率的變化：

其中 是對相對介電常數的高頻貢獻、 是等離子體頻率、 是振蕩器強度、 是諧振頻率， 是阻尼系數。由于模型計算了復值介電常數，COMSOL Multiphysics 內的電導率將設為零。這是模擬依賴于頻率的電導率的方法之一。

Debye 彌散模型是 Peter Debye 基于極化弛豫時間開發的材料模型。模型主要用于極性液體。它預測了復相對介電常數隨頻率的變化：

其中 是對相對介電常數的高頻貢獻、 是對相對介電常數的貢獻、 是弛豫時間。由于模型計算了復值介電常數，電導率假定為零。這是另一種模擬依賴于頻率的電導率的方法。

波動光學模塊中的 Sellmeier 彌散模型主要用于光學材料。它假定電導率為零、單位相對磁導率，并基于工作波長 而非頻率定義了相對介電常數：

其中系數 和 確定了相對介電常數。

您可以根據技術文獻給出的材料屬性在這七個模型中進行選擇。請記住，從數學角度來看，它們在控制方程中的輸入方式相同。

相對磁導率

相對磁導率量化了材料對磁場的響應。我們將所有 的材料稱為磁性材料。鐵是地球上最常見的磁性材料，但我們很少在 RF 或光學應用中使用高純鐵，更常使用的是鐵磁性材料。這類材料會表現出強烈的各向異性磁屬性，可以通過施加 DC 磁場控制。與鐵不同，鐵磁性材料的電導率較低，因此高頻電磁場能夠透入材料并與材料主體發生相互作用。參數化環形器結構教程演示了如何模擬鐵磁性材料。可以通過兩個選項指定相對磁導率：相對磁導率模型（RF 模塊的缺省選項）和磁損耗模型。相對磁導率模型支持您輸入一個實值或復值標量或張量。電導率部分提到的多孔介質模型同樣適用于相對磁導率。與上文提到的介電損耗模型類似，磁損耗模型中相對磁導率的實部和虛部可以作為實值數輸入，虛數磁導率將在材料中造成磁損耗。

模擬與網格剖分注意事項

在所有電磁模擬中，我們都不應忽視集膚深度這個重要的概念，即材料中的電場減小到表層電場值的 1/e 的距離。集膚深度可以定義為：

我們可以看到相對介電常數和磁導率均為復值。您應始終檢查集膚深度，并與您模型域的特征尺寸進行對比。如果集膚深度遠小于對象，您可以按照 “模擬電磁波問題中的金屬對象” 文章中的做法將域作為一個邊界條件模擬。如果集膚深度與對象尺寸相仿或更大，電磁場將透入對象并在域內發生明顯的相互作用。

如果集膚深度小于對象，那建議使用邊界層網格剖分來求解邊界法向方向上的場中的強烈變化，每單位集膚深度應至少使用一個單元，同時應使用至少三個邊界層單元。如果集膚深度大于介質的等效波長，那就可以通過在每波長應用五個單元來求解介質本身的波長，如上方左圖所示。

小結

在本篇博客中，我們介紹了 COMSOL Multiphysics 中用于定義電磁波模型中材料屬性的幾種方法。我們發現在特定頻率范圍內，用于定義相對介電常數的材料模型也可以用于金屬材料。另一方面，根據 “模擬電磁波問題中的金屬對象” 文章中的介紹，我們還可以通過邊界條件定義金屬域。結合我們之前發布的關于模擬開放邊界條件及關于模擬端口的文章，我們已經基本掌握了電磁波模擬的所有相關基礎知識。不過，我們還有一些要點尚未涉及，請繼續保持關注！